题目

题型：辽宁省月考题难度：来源：

如图所示的几何体是由以正三角形ABC为底面的直棱柱被平面DEF所截而得，AB=2，BD=1，CE=3，AF=a，O为AB的中点，
（1）当a=4时，求平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值；
（2）当a为何值时，在棱DE上存在点P，使CP⊥平面DEF？

答案

解：（1）分别取AB、DF的中点O、G，
连接OC、OG，
以直线OB、OC、OG分别为x轴、y轴、z轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
，
则D、E、F的坐标分别为D（1，0，1）、
E（0，，3）、F（-1，0，4），
∴=（-1，，2），=（-2，0，3），
设平面DEF的法向量，
由，
得，
可取，
平面ABC的法向量可以取，
∴，
∴平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值为。
 （2）在（1）的坐标系中，AF=a，
=（-1，，2），=（-2，0，a-1），
因P在DE上，设，
则
，
∴
，
于是CP⊥平面DEF的充要条件为
，
由此解得，，
即当a=2时，在DE上存在靠近D的第一个四等分点P，
使CP⊥平面DEF。