题目

题型：河北省模拟题难度：来源：

如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是矩形，AB=2 ，，且侧面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD，E是棱PA的中点，
（Ⅰ）求证：PD⊥AC；
（Ⅱ）在棱PA上是否存在一点E，使得二面角E-BD-A的大小为45°，若存在，试求的值，若不存在，请说明理由。

答案

解：取AB中点H，
则由PA＝PB，得PH⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABCD，
且平面PAB∩平面ABCD=AB，
所以PH⊥平面ABCD，
以H为原点，建立空间直角坐标系H-xyz（如图），
则
，
（Ⅰ）证明：∵，   
 ∴，
∴，即PD⊥AC。
（Ⅱ）假设在棱PA上存在一点E，
不妨设=λ，
则点E的坐标为，  
∴，
设是平面EBD的法向量，
则
，
不妨取，
则得到平面EBD的一个法向量，
又面ABD的法向量可以是=(0，0，)，
要使二面角E-BD-A的大小等于45°，
则
，
可解得，即=，
当时，使得二面角E-BD-A的大小等于45°。