题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)当E是AB的中点时,求证:AF∥平面PEC;
(Ⅱ)要使二面角P-EC-D的大小为45°,试确定E点的位置.
答案
(I)证明:如图,取PC的中点O,连接OF,OE.
由已知得OF∥DC且OF=
1 |
2 |
又∵E是AB的中点,则OF∥AE且OF=AE,
∴AEOF是平行四边形,
∴AF∥OE
又∵OE⊂平面PEC,AF⊄平面PEC
∴AF∥平面PEC.
(II)如图,作AM⊥CE交CE的延长线于M.
连接PM,由三垂线定理得PM⊥CE,
∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角.
∴∠PMA=45°,
∵PA=1,∴AM=1,
设AE=x,
由△AME≌△CBE,得x=
(2-x)2+1 |
5 |
4 |
故要使二面角P-EC-D的大小为45°,只需AE=
5 |
4 |
解法二:
(I)证明:由已知,AB,AD,AP两两垂直,
分别以它们所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz.
则A(0,0,0),F(0,
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1 |
2 |
∴
AF |
1 |
2 |
1 |
2 |
∵E(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,1),
设平面PEC的法向量为
m |
则
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|
m |
由
AF |
m |
1 |
2 |
1 |
2 |
AF |
m |
又AF⊄平面PEC,故AF∥平面PEC.
(II)由已知可得平面DEC的一个法向量为
AP |
设E=(t,0,0),设平面PEC的法向量为
m |
则
|
|
m |
由cos45o=|
| ||||
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5 |
4 |
故,要使要使二面角P-EC-D的大小为45°,只需AE=
5 |
4 |
核心考点
试题【如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,F是PD的中点,E是线段AB上的点.(Ⅰ)当E是AB的中点时】;主要考察你对向量求夹角等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求证:B1E⊥AD1;
(Ⅱ)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.
(Ⅲ)若二面角A-B1E-A1的大小为30°,求AB的长.
(1)求证:AB⊥平面PBC;
(2)设AB=BC,直线PA与平面ABC所成的角为45°,求异面直线AP与BC所成的角;
(3)在(2)的条件下,求二面角C-PA-B的余弦值.
A.
| B.
| C.
| D.
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A.
| B.
| C.
| D.
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( I)求二面角C-DE-C1的正切值;( II)求直线EC1与FD1所成的余弦值.
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