题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知直四棱柱的底面是直角梯形，，，，分别是棱，上的动点，且，，．
（Ⅰ）证明：无论点怎样运动，四边形都为矩形；
（Ⅱ）当时，求几何体的体积。

答案

（Ⅰ）在直四棱柱中，，
∵，∴， ---------------------------------------2分
又∵平面平面，平面平面，
平面平面，
∴，∴四边形为平行四边形，-----------------4分
∵侧棱底面，又平面内，
∴，∴四边形为矩形； -----------------------------5分
（Ⅱ）证明：连结，∵四棱柱为直四棱柱，
∴侧棱底面，又平面内，∴， -------6分
在中，，，则； ---------------7分
在中，，，则； -------------8分
在直角梯形中，；
∴，即，
又∵，∴平面； ---------------10分
由（Ⅰ）可知，四边形为矩形，且，，
∴矩形的面积为，
∴几何体的体积为

解析

略