题目

题型：不详难度：来源：

(本小题满分12分)如图，四棱锥中，底面为矩形，
底面，，点是棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的平面角的余弦值.

答案

（1）见解析；（2）

解析

(1)底面⊥=⊥.
⊥平面⊥,进而确定⊥平面.
(2)解第（2）的关键是判断出为等边三角形，为等腰直角三角形,然后取的中点，连接,确定为所求的二面角的平面角.

（1）证明：由⊥底面，得⊥，由=知为等腰直角三角形，又点是棱的中点，故⊥由题意知⊥，又是在面内的射影，由三垂线定理得⊥，从而⊥平面，因⊥，⊥，所以⊥平面.
（2）解：由（1）知⊥平面，又//，得⊥平面，故⊥.
在中，==，
从而在，所以为等边三角形，
取的中点，连接，则
因==1，且⊥，则为等腰直角三角形，连接，则⊥，
所以为所求的二面角的平面角.
连接，在中，

所以故二面角的平面角的余弦值为
解二：（1）如图，以为坐标原点，射线、、分别为轴、轴、轴正半轴，建立空间直角坐标系.
设，则   .
于是,
则，所以⊥平面.
（2）解：设平面的法向量为，由（1）知，⊥平面，
故可取
设平面的法向量，则，
由 =1，得从而
故所以可取
从而所以二面角的平面角的余弦值为