题目
题型:不详难度:来源:
在三棱锥S—ABC中,底面是边长为2的正三角形,点S在
底面ABC上的射影O恰是BC的中点,侧棱SA和底面成45°角.
(1) 若D为侧棱SA上一点,当为何值时,BD⊥AC;
(2) 求二面角S—AC—B的余弦值大小.
答案
解析
(1)建立合理的空间直角坐标系,然后表示向量的坐标,利用向量的数量积为零来证明垂直。
(2)结合平面的法向量的坐标,和法向量的夹角公式,来表示二面角的平面角的大小。
以O点为原点,OC为x轴,OA为y轴,OS为z轴建立空间直角坐标系.因为是边长为的正三角形,又与底面所成角为,所以∠,所以.
所以O(0,0,0),C(,0,0),A(0,3,0),S(0,0,3),B(-,0,0).…………………………2分
(1)设AD=a,则D(0,3-a,a),所以=(-,3-a,a),
=(,-3,0).若BD⊥AC,则·=3-3(3-a)=0,
解得a=2,而AS=3,所以SD=,
所以.………………………5分
(2)因为=(0,-3,3),=(2,0,0)
设平面ACS的法向量为n1=(x,y,z),
则
令z=1,则x=,y=1,所以n1=(,1,1)………………………………………………………7分
而平面ABC的法向量为n2=(0,0,1), ………………………………………………………………8分
所以cos<n1,n2>=,又显然所求二面角的平面角为锐角,
故所求二面角的余弦值的大小为.……………………………………………………………10分
核心考点
试题【(本小题满分10分)在三棱锥S—ABC中,底面是边长为2的正三角形,点S在底面ABC上的射影O恰是BC的中点,侧棱SA和底面成45°角.(1) 若D为侧棱SA上】;主要考察你对向量与空间位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
①若则②若则
③若则④若则
其中真命题是( )
A.①② | B.①③ | C.①④ | D.②④ |
A.若∥,∥,则∥ |
B.若∥,∥,∥,则∥ |
C.若⊥,⊥,⊥,则⊥ |
D.若、在平面内的射影互相垂直,则⊥ |
如图,在三棱锥中,面面,是正三角形,.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若异面直线所成角的余弦值为,求二面角的大小;
①若∥,则;②若,则∥;
③若,则∥;④若∥,则;
其中为真命题的序号是_______
,,,,是线段上一点,
,点在线段上,且。
⑴证明;
⑵求二面角的平面角的正弦值。
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