题目
题型:不详难度:来源:
(1)证明:无论取何值,总有;
(2)当取何值时,直线与平面所成的角最大?并求该角取最大值时的正切值;
(3)是否存在点,使得平面与平面所成的二面角为30º,若存在,试确定点的位置,若不存在,请说明理由.
答案
(2)当=时,θ取得最大值,此时sinθ=,cosθ=,tanθ="2" ;
(3)不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30º
解析
(2)设出平面ABC的一个法向量,表达出sinθ,利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系,求出满足条件的λ值,进而求出此时θ的正切值;
(3)假设存在,利用平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°,则平面PMN与平面ABC法向量的夹角为30°,代入向量夹角公式,可以构造一个关于λ的方程,研究方程根的情况,即可得到结论.
证明:(1)如图,以A为原点建立空间直角坐标系,则A1(0,0,1),
|
|
,,
(1)∵,∴
∴无论取何值,AM⊥PN………………………………4分
(2)∵(0,0,1)是平面ABC的一个法向量.
∴sinθ=|cos<|=
∴当=时,θ取得最大值,此时sinθ=,cosθ=,tanθ=2 ………8分
(3)假设存在,则,设是平面PMN的一个法向量.
则得令x=3,得y=1+2,z=2-2
∴
∴|cos<>|=化简得4
∵△=100-4413=-108<0
∴方程(*)无解
∴不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30º
核心考点
试题【(本小题满分12分)如图,已知三棱柱的侧棱与底面垂直,,,,分别是,的中点,点在直线上,且;(1)证明:无论取何值,总有;(2)当取何值时,直线与平面所成的角最】;主要考察你对向量与空间位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
①求证:平面;
②求直线与平面所成角的正切值.
(Ⅰ)求证:DM∥平面APC;
(II)求证:平面ABC⊥平面APC.
(1)求证:⊥平面;
(2)求二面角的大小;
(3)求点到平面的距离.
(1)证明:;
(2)证明:;
(1)求证:∥平面;
(2)求证:⊥平面.
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