题目

题型：不详难度：来源：

（本小题13分）如图，棱锥的底面是矩形，⊥平面，，

（1）求证：⊥平面；
（2）求二面角的大小；
（3）求点到平面的距离.

答案

(1)见解析；（2）；（3）

解析

试题分析：(方法一)证明：（1）在中，，，
所以为正方形，因此. ∵⊥平面，平面，
∴.又∵, ∴⊥平面.                    ……４分               
（2）解：由⊥平面，知为在平面内的射影，
又,∴,知为二面角的平面角.   
又∵,∴ .                                     ……９分                                                    
（3）∵，∴，
设到面的距离为，
由，有，                        
即，
得.                                                        ……1４分       
（方法二）证明：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系，

则、、.
在中，， ,∴，
∴   ∵，
即，又∵, ∴⊥平面.          ……４分               
解：（2）由（Ⅰ）得.
设平面的法向量为，则
即，∴  故平面的法向量可取为                               
∵⊥平面，∴为平面的法向量. 
设二面角的大小为，依题意可得，
∴                                                          ……９分                                                     
（3）由（Ⅰ）得，
设平面的法向量为，
则，即，∴，
故平面的法向量可取为.                             
∵，∴到面的距离为.         ……1４分
点评：解决空间中的平行、垂直以及距离等问题，有传统方法和向量方法两种方法，用传统方法时，要注意紧扣定理，把符合定理的条件都列出来；用向量方法时，运算量较大，要仔细、快速进行.