题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
如图，在四面体PABC中，PA=PB，CA=CB，D、E、F、G分别是PA，AC、CB、BP的中点．

(1)求证：D、E、F、G四点共面；
(2)求证：PC⊥AB；
(3)若△ABC和△PAB都是等腰直角三角形，且AB=2，，求四面体PABC的体积．

答案

(1)只需证DG//EF； (2)只需证AB⊥面POC；（3）。

解析

试题分析：(1)依题意DG//AB……1分，
EF∥AB…2分，
所以DG//EF……3分，
DG、EF共面，从而D、E、F、G四点共面……4分。
(2)取AB中点为O，连接PO、CO……5分
因为PA=PB， CA=CB，所以PO⊥AB，CO⊥AB……7分，
因为PO∩CO=D，所以AB⊥面POC……8分
PC面POC，所以AB⊥PC……9分
(3)因为△ABC和PAB是等腰直角三角形，所以…10分，
因为所以OP⊥OC……11分，
又PO⊥AB，且AB∩OC=O，所以PO⊥面ABC……12分
……14分（公式1分，其他1分）
点评：第三问，把三棱锥P-ABC体积的求法转化为求棱锥A-POB和棱锥B-POC的体积之和是解决问题的关键。