题目
题型:不详难度:来源:
(1)若点M是棱PC的中点,求证:平面;
(2)求证:平面底面;
(3)若二面角M-BQ-C为,设PM=tMC,试确定t的值.
答案
解析
试题分析:(1)连接AC,交BQ于N,连接MN,在三角形PAC中,利用中位线定理证明PA//MN,由线线平行得线面平行;(2)证PQ⊥AD,QB⊥AD,由PQ∩BQ=Q,所以AD⊥平面PBQ,再利用线面垂直得面面垂直;(3)先证PQ⊥面ABCD,(注意此步不可省略),再以Q为原点建立空间直角坐标系,写出各点坐标及平面BQC的法向量,并设,利用关系PM=tMC,用坐标表示出来,列方程解出,并得,
,从而易得平面MBQ法向量为,再由数量积运算得,可得t值.
试题解析:证明:(1)连接AC,交BQ于N,连接MN. 1分
∵BC∥AD且BC=AD,即BCAQ.∴四边形BCQA为平行四边形,且N为AC中点,
又∵点M是棱PC的中点,∴ MN // PA 2分
∵ MN平面MQB,PA平面MQB, 3分
∴ PA // 平面MBQ. 4分
(2)∵AD // BC,BC=AD,Q为AD的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD // BQ . 6分
∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD.
又∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD, 7分
∴BQ⊥平面PAD. 8分
∵BQ平面PQB,∴平面PQB⊥平面PAD. 9分
另证:AD // BC,BC=AD,Q为AD的中点∴ BC // DQ 且BC= DQ,
∴ 四边形BCDQ为平行四边形,∴CD // BQ .
∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD. 6分
∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD. 7分
∵ PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PBQ. 8分
∵ AD平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD. 9分
(Ⅲ)∵PA=PD,Q为AD的中点, ∴PQ⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD, ∴PQ⊥平面ABCD. 10分
(不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分)
如图,以Q为原点建立空间直角坐标系.
则平面BQC的法向量为;
,,,. 11分
设,
则,,∵,
∴ , ∴ , 12分
在平面MBQ中,,,
∴ 平面MBQ法向量为. 13分
∵二面角M-BQ-C为30°, ,∴ . 14分
核心考点
试题【如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,,,平面底面,为中点,M是棱PC上的点,.(1)若点M是棱PC的中点,求证:平面;(2)求证:平面底面;(】;主要考察你对向量与空间位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求证:平面;
(2)求证:.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求证:平面;
(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.
A.当时,“”是“”的必要不充分条件 |
B.当时,“”是“”的充分不必要条件 |
C.当时, “”是“∥”成立的充要条件 |
D.当时,“”是“”的充分不必要条件 |
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面.
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