题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
答案
解析
试题分析:(1)先利用余弦定理以及得到与的等量关系,然后利用勾股定理证明,再结合已知条件并利用直线与平面垂直的判定定理证明平面;证法二是在中利用正弦定理并结合三角函数求出的大小,进而得到,再结合已知条件并利用直线与平面垂直的判定定理证明平面;(2)解法一是将进行平移使得与平面相交,即取的中点,通过证明四边形为平行四边形来达到证明的目的,于是将问题转化为求直线与平面的角的正弦值,取的中点,先证明平面,于是得到直线与平面所成的角为,最后在直角三角形中计算的值;解法二是建立以点为坐标原点,、、所在的直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系,利用空间向量法求直线与平面所成角的正弦值.
试题解析:(1)证明1:因为,,
在中,由余弦定理可得,
以.所以,
因为,,、平面,
所以平面.
证明2:因为,设,则,
在△中,由正弦定理,得.
为,所以.
整理得,所以.所以.
因为,,、平面,
所以平面;
(2)解法1:由(1)知,平面,平面,
所以.
因为平面为正方形,所以.
因为,所以平面,
取的中点,连结,,
因为是等腰梯形,且,,
所以.所以是等边三角形,且,
取的中点,连结、,则.
因为平面,,所以,
因为,所以平面,
所以为直线与平面所成角,
因为平面,所以,
因为,,
在△中,.所以直线与平面所成角的正弦值为;
解法2:由(1)知,平面,平面,
所以.
因为平面为正方形,所以.
因为,所以平面,所以、、两两互相垂直.
建立如图的空间直角坐标系,
因为是等腰梯形,且,
所以.
不妨设,则,,,
,,
所以,,.
设平面的法向量为,则有,即,
取,得是平面的一个法向量,
设直线与平面所成的角为,
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
核心考点
举一反三
(1)求证:平面;
(2)若,,求点到平面的距离.
A.AB//平面DEF B.CD⊥平面ABD
C.EF⊥平面ACD D.V三棱锥C—ABD=4V三棱锥C—DEF
(Ⅰ)求证:平面PAB⊥平面ABCD ;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的平面角的余弦值.
①若∥,则m⊥; ②若⊥,则m∥;
③若m⊥,则∥; ④若m∥,则⊥.其中正确命题的个数是( )
A.1 | B.2 | C.3 | D.4 |
(1)求证:DC平面ABC;
(2)求直线与平面ACD所成角的余弦值.
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