题目

题型：不详难度：来源：

如图1，在直角梯形中，，，且．
现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2．

（1）求证：∥平面;
（2）求证：;
（3）求点到平面的距离.

答案

（1）见解析（2）见解析(3)

解析

试题分析：
(1)要证明线面平行,取中点，连结,其中线段BN在面BEC中,根据线面平行的判断,只需要证明线段BN与AM平行即可,根据MN为所在线段的中点,利用中位线定理即可得到MN平行且等于DC的一半,题目已知AB平行且等于DC的一半,则可以得到MN与AB平行且相等,即四边形ABMN为平行四边形,而AM与BN为该平行四边形的两条对边,则AM与BN平行,即得到线段AM平行于面BEC.
(2)题目已知面ABCD与ADEF垂直且ED垂直于这两个面的交线,根据面面垂直的性质定理可得线段ED垂直于面ABCD,再根据线面垂直的性质可得到BC垂直于ED,根据梯形ABCD为直角梯形和边长关系和勾股定理可以得到BC与BD垂直,即线段BC与面BED中两条相交的线段ED,BD相互垂直,根据线面垂直的判断即可得到线段BC垂直于面BED
(3)要求点面距离可以考虑利用三棱锥体积的等体积法,即分别以D点和E点作为顶点求解三棱锥D-BEC的体积,当以E作为顶点时,DE为高,三角形BCD为底面,求出高和底面积得到三棱锥的体积,当D为顶点,此时,高为D到面BEC的距离,而三角形BEC为底面,利用三角形的勾股定理得到BE的长度,求出三角形BEC的面积,利用三棱锥的体积公式即可得到D到面BEC的距离.
试题解析：
（1）证明：取中点，连结．
在△中，分别为的中点，
所以∥，且．
由已知∥，，
所以∥，且．          3分
所以四边形为平行四边形．
所以∥．          4分
又因为平面，且平面，
所以∥平面．         5分

（2）在正方形中，．
又因为平面平面，且平面平面，
所以平面．
所以．         7分
在直角梯形中，，，可得．
在△中，，
所以．
所以．          8分
所以平面．          10分
（3）解法一：因为平面，所以平面平面．    11分
过点作的垂线交于点，则平面
所以点到平面的距离等于线段的长度         12分
在直角三角形中，
所以
所以点到平面的距离等于.         14分
解法二：平面,所以
所以
         12分
又，设点到平面的距离为
则，所以
所以点到平面的距离等于.         14分