题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:;
(2)当为棱的中点时,求直线与平面所成角的正弦值.
答案
解析
试题分析:(1)空间中证线线垂直,一般先证线面垂直.那么在本题中证哪条线垂直哪个面?从图形可看出,可证面. (2)思路一、为了求直线与平面所成角的正弦值,首先作出直线在平面内的射影. 连设,连,可证得面,这样便是直线与平面所成角.思路二、由于两两垂直,故可分别以为轴正向,建立空间直角坐标系,然后利用空间向量求解.
试题解析:连设,连.
(1)由面,知,
又, 故面.
再由面便得⊥.
(2)在正中,,而,
又面,平面,且,
故⊥面,于是,为二面角的平面角.
正方体ABCD—中,设棱长为,且为棱的中点,由平面几何知识易得,满足,故.
再由知面,故是直线与平面所成角.
又,故直线与平面所成角的正弦是.
解二.分别以为轴正向,建立空间直角坐标系.设正方体棱长为.
(1)易得.
设,则, ,从而
,于是
(2)由题设,,则,.
设是平面的一个法向量,则,即
于是可取,.易得,故若记与的夹角为,则有,故直线与平面所成角的正弦是.
核心考点
举一反三
(1)求证:平面;
(2)若以为坐标原点,射线、、分别是轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系,已经计算得是平面的法向量,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
①平面平面PBC ②平面平面PAD ③平面平面PCD
① ②
③ ④
A.②④ | B.②③④ | C.①③ | D.①②③ |
A.若,,,则 | B.若,,,则 |
C.若,,,则 | D.若,,,则 |
A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n |
B.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n |
C.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β |
D.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β |
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