题目

题型：不详难度：来源：

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直底面ABCD.

(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB；
(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．

答案

（1）见解析   （2）见解析
（3）当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.见解析

解析

(1)证明：∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
G为AD的中点，得BG⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.
(2)证明：连结PG，因为△PAD为正三角形，G为AD的中点，得PG⊥AD.
由(1)知BG⊥AD，
∵PG∩BG＝G，PG⊂平面PGB，BG⊂平面PGB
∴AD⊥平面PGB.
∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.
(3)解：当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.
证明如下：取PC的中点F，连结DE，EF，DF，则在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，FE∩DE＝E，∴平面DEF∥平面PGB.
由(2)可知，PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.