题目

题型：不详难度：来源：

如图，三棱锥P—ABC中，平面PAC⊥平面BAC，AP=AB=AC=2，∠BAC=∠PAC=120°。

（I）求棱PB的长；
（II）求二面角P—AB—C的大小。

答案

（I）（II）

解析

试题分析：（I）如图1，作PO⊥AC，垂足为O，连结OB，
由已知得，△POC≌△BOC，则BO⊥AC。
，
 
∵平面PAC⊥平面BAC，∴PO⊥平面BAC，∴PO⊥OB，
 

（II）方法1：如图1，作OD⊥AB，垂足为D，连结PD，由三垂线定理得，PD⊥AB。
则∠PDO为二面角P—AB—C的平面角的补角。

二面角P—AB—C的大小为 
方法2：如图2，分别以OB，OC，OP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系
O—xyz，则

令 
又为面ABC的法向量。  

易知二面角P—AB—C的平面角为钝角，
故二面角P—AB—C的大小为 

点评：第二问求二面角分别用了几何法（作出二面角平面角，计算大小）和向量法（建立坐标系，写出相关点的坐标，找到两面的法向量，通过法向量的夹角找到二面角）