题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E，F且EF＝，则下列结论中错误的是    (　　)．

A．AC⊥BE

B．EF∥平面ABCD

C．三棱锥A-BEF的体积为定值

D．异面直线AE，BF所成的角为定值

答案

D

解析

∵AC⊥平面BB₁D₁D，又BE⊂平面BB₁，D₁D.
∴AC⊥BE，故A正确．
∵B₁D₁∥平面ABCD，又E、F在直线D₁B₁上运动，
∴EF∥平面ABCD，故B正确．
C中由于点B到直线B₁D₁的距离不变，故△BEF的面积为定值，又点A到平面BEF的距离为，故V_A-BEF为定值．
当点E在D₁处，点F为D₁B₁的中点时，建立空间直角坐标系，如图所示，可得A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(1,0,1)，F，

∴＝(0，－1,1)，＝，
∴·＝.
又||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
∴此时异面直线AE与BF成30°角．
②当点E为D₁B₁的中点，点F在B₁处时，此时E，F(0,1,1)，
∴＝，＝(0,0,1)，
∴·＝1，||＝，
∴cos〈，〉＝＝＝≠，故选D.