题目
题型:不详难度:来源:
(1)证明:平面;
(2)取,若为上的动点,与平面所成最大角的正切值为,求二面角的余弦值。
答案
解析
试题分析:(1)用线面垂直证,用等腰三角形中线即为高线证即,根据线面垂直得判定定理即可得证。(2)由(1)知平面,则为与平面所成的角。因为为定值,所以最短即最短时角的正弦值最大。故此时。故此可推导出的值,过作于,则平面,过作于,连接,则为二面角的平面角。也可采用空间向量法。
试题解析:解:方法一:(1)证明:由四边形为菱形,,可得为正三角形,因为为的中点,
所以 1分
又,因此 2分
因为平面,平面,
所以 3分
而平面,平面,
所以平面 . 5分
(2)为上任意一点,连接由(1)知平面,则为与平面所成的角 6分
在中,,
所以当最短时,即当时,最大 . 7分
此时, 因此
又,所以,
所以 8分
因为平面,平面,
所以平面平面
过作于,则平面,
过作于,连接,则为二面角的平面角, 10分
在中,
又是的中点,在中,
又 11分
在中,
即所求二面角的余弦值为。 13分
第二问:方法二
(2)由(1)可知两两垂直,
以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系。
设,则
(其中) 6分
面的法向量为
与平面所成最大角的正切值为 7分
的最大值为,
即在的最小值为,
函数对称轴,
所以,计算可得 9分
所以
设平面的一个法向量为,则
因此,取,则 11分
为平面的一个法向量. 12分
所以
所以,所求二面角的余弦值为 13分
核心考点
试题【如图,已知四棱锥中,底面为菱形,平面,,分别是的中点.(1)证明:平面;(2)取,若为上的动点,与平面所成最大角的正切值为,求二面角的余弦值。】;主要考察你对空间向量的基本概念等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求证://平面;
(2)求与平面BDE所成角的余弦值;
(3)线段PC上是否存在一点M,使得AM⊥平面PBD,如果存在,求出PM的长度;如果不存在,请说明理由。
(1)求证: E⊥平面BEP;
(2)求直线E与平面BP所成角的大小.
(1)求证:A1B⊥AM;
(2)求二面角BAMC的平面角的大小..
(1)求异面直线EC1与FD1所成角的余弦值;
(2)试在面A1B1C1D1上确定一点G,使DG⊥平面D1EF.
(1)证明:BC1∥平面A1CD;
(2)求二面角D-A1C-E的正弦值.
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