题目

题型：不详难度：来源：

如图，在直三棱柱ABC­A₁B₁C₁中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A₁A＝，M是CC₁的中点．

(1)求证：A₁B⊥AM；
(2)求二面角B­AM­C的平面角的大小．.

答案

（1）见解析（2）45°

解析

(1)以点C为原点，CB、CA、CC₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系C－xyz，如图所示，

则B(1,0,0)，A(0，，0)，A₁(0，，)，M.
所以＝(1，－，－)，＝.
因为·＝1×0＋(－)×(－)＋(－)×＝0，所以A₁B⊥AM.
(2)因为ABC­A₁B₁C₁是直三棱柱，所以CC₁⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，所以CC₁⊥BC.
因为∠ACB＝90°，即BC⊥AC，又AC∩CC₁＝C，所以BC⊥平面ACC₁A₁，即BC⊥平面AMC.
所以是平面AMC的一个法向量，＝(1,0,0)．
设n＝(x，y，z)是平面BAM的一个法向量，＝(－1，，0)，＝.
由得，令z＝2，得x＝，y＝.
所以n＝(，，2)
因为||＝1，|n|＝2，所以cos〈，n〉＝＝，
因此二面角B­AM­C的大小为45°