题目

题型：不详难度：来源：

如图，在长方体ABCD­A₁B₁C₁D₁中，已知AB＝4，AD＝3，AA₁＝2，E，F分别是棱AB，BC上的点，且EB＝FB＝1.
 
(1)求异面直线EC₁与FD₁所成角的余弦值；
(2)试在面A₁B₁C₁D₁上确定一点G，使DG⊥平面D₁EF.

答案

（1）（2）当点G在面A₁B₁C₁D₁上，且到A₁D₁，C₁D₁距离均为时，DG⊥D₁EF.

解析

(1)以D为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，

则有D(0，0,0)，D₁(0,0,2)，C₁(0,4,2)，E(3,3,0)，F(2，4,0)，
于是＝(－3,1,2)，＝(－2，－4,2)．
设EC₁与FD₁所成角为α，则cos α＝＝

∴异面直线EC₁与FD₁所成角的余弦值为.
(2)因点G在平面A₁B₁C₁D₁上，故可设G(x，y,2)．
＝(x，y,2)，＝(－2，－4，2)，＝(－1,1,0)．由
得解得
故当点G在面A₁B₁C₁D₁上，且到A₁D₁，C₁D₁距离均为时，DG⊥D₁EF