题目

题型：月考题难度：来源：

已知双曲线的离心率为2，过点P（0，﹣2）的直线l与双曲线E交于不同
的两点M，N．
（I）当求直线l的方程；
（II）设（O为坐标原点），求实数t的取值范围．

答案

解：（I）∵双曲线的离心率为2，
∴a²=m，b²=12，c²=m+12，
，∴m=4，双曲线E的方程为，
当直线l与x轴垂直时，直线l与双曲线没有交点，
设直线l的方程为：y=kx﹣2，点M（x₁，kx₁﹣2），N（x₂，kx₂﹣2），
当时，x₁=2x₂，，
∴，①
y=kx﹣2代入，得：（3﹣k²）x²+4kx﹣16=0，
3﹣k²≠0，且△=16k²﹣4（3﹣k²）（﹣16）＞0，
即﹣2＜k＜2，且k，
∴，
代入①得9×=2（）²，解得k=，满足△＞0，
所以直线l的方程为．
（II）=
==（k²+1）x₁x₂﹣2k（x₁+x₂）+4=
=12+，
∵0≤k²＜4，且k²≠3，
∴，或，
∴t＞52，或t≤﹣20