题目

题型：不详难度：来源：

已知O为△ABC所在平面外一点，且

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，OA，OB，OC两两互相垂直，H为△ABC的垂心，试用

a

，

b

，

c

表示

OH

．

答案

由

OA⊥OB OA⊥OC

⇒OA⊥平面OBC⇒OA⊥BC，连AH并延长并BC于M．
则由H为△ABC的垂心．∴AM⊥BC、
于是BC⊥平面OAH⇒OH⊥BC、
同理可证：

OH⊥AC AC∩BC=C

⇒OH⊥平面ABC、
又

OA

，

OB

，

OC

是空间中三个不共面的向量，由向量基本定理知，存在三个实数k₁，k₂，k₃使得

OH

=k1

a

+k2

b

+k3

c

、
由

OH

•

BC

=0且

a

•

b

=

a

•

c

=0⇒k2

b

2=k3

c

2，同理k1

a

2=k2

b

2．
∴k1

a

2=k2

b

2=k3

c

2=m≠0． ①
又AH⊥OH，
∴

AH

•

OH

=0⇒(k1-1)a+k2b+k3c•(k1a+k2b+k3c)=0⇒k₁（k₁-1）

a

2+k22

b

2+k32

c

2=0②
联立①及②，得

m(k1-1)+mk2+mk3=0， m≠0

⇒k1+k2+k3=1③
又由①，得k1=

m

a 2

，k2=

m

b 2

，k3=

m

c 2

，代入③得：m=

a 2• b 2• c 2

a 2• b 2+ b 2• c 2+ c 2• a 2

⇒k1=

b 2• c 2

△

，k2=

c 2• a 2

△

，k3=

a2•b2

△

，
其中△=

a

2•

b

2+

b

2•

c

2+

c

2•

a

2，于是

OH

=

1

△

（

b

2•

c

2•

a

+

c

2•

a

2•

b

+

a

2•

b

2•

c

）