题目

题型：孝感模拟难度：来源：

在△ABC中，

AB

•

AC

=|

AB

-

AC

|=2．
（1）求|

AB

|2+|

AC

|2的值；
（2）当△ABC的面积最大时，求∠A的大小．

答案

（1）

AB

•

AC

=|

AB

-

AC

|=2．得，|

AB

|2+|

AC

|2-2

AB

•

AC

=4，
故|

AB

|2+|

AC

|2=2

AB

•

AC

+4，又

AB

•

AC

═2
所以|

AB

|2+|

AC

|2=8
（2）由面积公式S_△ABC=

1

2

|AB||AC|sin∠BAC
又

AB

•

AC

=|AB||AC|cos∠BAC=2
∴cos∠BAC=

2

|AB||AC|

∴sin∠BAC═

1-( 2 |AB||AC| )2

=

(|AB||AC|)2-4

|AB||AC|

∴S_△ABC=

1

2

|AB||AC|sin∠BAC=

1

2

(|AB||AC|)2-4

≤

1

2

( |AB|+|AC| 2 )4-4

等号当且仅当|AB|=|AC|时成立，
又由（1）|AB|=|AC|=2时，三角形面积取到最大值．
cos∠BAC=

1

2

，即∠BAC=60°
答：当△ABC的面积最大时，求∠A的大小是60⁰．