题目

题型：不详难度：来源：

已知向量|

a

|=（cosθ，sinθ）和|

b

|=（

2

-sinθ，cosθ），θ∈[

11π

12

，

17π

12

]．
（1）求|

a

+

b

|的最大值；
（2）若|

a

+

b

|=

4 10

5

，求sin2θ的值．

答案

（1）

a

+

b

=(cosθ-sinθ+

2

，cosθ+sinθ)．
|

a

+

b

|=

(cosθ-sinθ+ 2 )2+(cosθ+sinθ)2

=

4+2 2(cosθ-sinθ)

=

4+4cos(θ+ π 4 )

=2

1+cos(θ+ π 4 )

．（3分）
∵θ∈[

11π

12

，

17π

12

]，∴

7π

6

≤θ+

π

4

≤

5π

3

，
∴-

3

2

≤cos(θ+

π

4

)≤

1

2

．（5分）
∴|

a

+ 

b

|max=

6

．（7分）
（2）由已知|

a

+

b

|=

4 10

5

，得cos(θ+

π

4

)=

3

5

．（9分）
sin2θ=-cos2(θ+

π

4

)
=1-2cos2(θ+

π

4

)
=1-2×

9

25

=

7

25

．（12分）