题目

题型：不详难度：来源：

已知△ABC中，

AB

⊥

AC

，|

AB

-

AC

|=2，点M是线段BC（含端点）上的一点，且

AM

•(

AB

+

AC

)=1，则|

AM

|的取值范围是______．

答案

如图所示，建立直角坐标系．
设B（0，c），C（b，0），D（b，c），M（x，y）．
∵|

AB

-

AC

|=|

CB

|=2，
∴b²+c²=4．
∵

AB

+

AC

=

AD

，
∴

AM

•(

AB

+

AC

)=

AM

•

AD

=（x，y）•（b，c）=bx+cy=1．
|

AM

|=

x2+y2

，
∵（x²+y²）（b²+c²）≥（bx+cy）²，
∴4（x²+y²）≥1，
∴

x2+y2

≥

1

2

，即|

AM

|≥

1

2

．
又

x

b

+

y

c

=1，
∴1=（bx+cy）(

x

b

+

y

c

)=x2+y2+

cxy

b

+

bxy

c

，
∵b＞0，c＞0，x≥0，y≥0．
∴x²+y²≤1，即

x2+y2

≤1．（当且仅当x=0或y=0时取等号）．
综上可知：

1

2

≤|

AM

|≤1．
故答案为：[

1

2

，1]．