题目

题型：不详难度：来源：

设

a

，

b

是两个非零向量，如果（

a

+3

b

）⊥（7

a

-5

b

），且（

a

-4

b

）⊥（7

a

-2

b

），则

a

与

b

的夹角为______．

答案

因为 (

a

+3

b

)⊥(7

a

-5

b

)，
所以 7

a

2+16

a

•

b

-15

b

2=0，
因为 (

a

-4

b

)⊥(7

a

-2

b

)，
所以 7

a

2-30

a

•

b

+8

b

2=0，
两式相减得 46

a

•

b

-23

b

2=0，
所以 

b

2=2

a

•

b

，
将

b

2=2

a

•

b

代回第一个式子可得：

a

2=2

a

•

b

，
所以

a

2 =

b

2，即|

a

|=|

b

|．
设向量

a

与

b

的夹角为θ，则 cosθ=

a • b

| a || b |

=

1

2

，
所以向量

a

与

b

的夹角大小为

π

3

．
故答案为：

π

3

．