题目

题型：不详难度：来源：

（1）设

a

，

b

，是两个非零向量，如果(

a

-3

b

)⊥(7

a

+5

b

)，且(

a

+4

b

)⊥(7

a

+2

b

)，求向量

a

与

b

的夹角大小；
（2）用向量方法证明：设平面上A，B，C，D四点满足条件AD⊥BC，BD⊥AC，则AB⊥CD．

答案

（1）因为(

a

-3

b

)⊥(7

a

+5

b

)，所以7

a

2-16

a

•

b

-15

b

2=0，
因为(

a

+4

b

)⊥(7

a

+2

b

)，所以7

a

2+30

a

•

b

+8

b

2=0，（2分）
两式相减得46

a

•

b

+23

b

2=0，于是

b

2=-2

a

•

b

，
将

b

2=-2

a

•

b

代回任一式得

a

2=-2

a

•

b

，（6分）
设与的夹角为θ，则cosθ=

a • b

| a || b |

=-

1

2

，
所以与的夹角大小为120°．（8分）
（2）因AD⊥BC，所以

AD

•

BC

=

AD

•(

AC

-

AB

)=0，
因BD⊥AC，所以

AC

•

BD

=

AC

•(

AD

-

AB

)=0，（12分）
于是

AD

•

AC

=

AD

•

AB

，

AC

•

AD

=

AC

•

AB

，
所以

AD

•

AB

=

AC

•

AB

，(

AD

-

AC

)•

AB

=0，（14分）
即

CD

•

AB

=0，所以

CD

⊥

AB

，即AB⊥CD．（16分）