题目

题型：0104 模拟题难度：来源：

如图所示，已知圆C：(x+1)²+y²=8，定点A(1，0)，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，点N的轨迹为曲线E，
（1）求曲线E的方程；
（2）过点S（0，）且斜率为k的动直线l交曲线E于A、B两点，在y轴上是否存在定点G，满足使四边形NAPB为矩形？若存在，求出G的坐标和四边形NAPB面积的最大值；若不存在，说明理由。

答案

解：（1），
∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|，
又，
∴，
∴动点N的轨迹是以点C（-1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，
且椭圆长轴长为，焦距2c=2，
∴，
∴曲线E的方程为。
（2）动直线l的方程为：，
由，得，
设，
则，
假设在y上存在定点G（0，m），满足题设，
则，


，
由假设得对于任意的恒成立，即，解得m=1。
因此，在y轴上存在定点G，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点G的坐标为（0，1），
这时，点G到AB的距离，

，
设，则，
得，
所以，
当且仅当时，上式等号成立。
因此，GAPB面积的最大值是。