题目

题型：不详难度：来源：

（文）对于任意的平面向量

a

=(x1，y1)，

b

=(x2，y2)，定义新运算⊕：

a

⊕

b

=(x1+x2，y1y2)．若

a

，

b

，

c

为平面向量，k∈R，则下列运算性质一定成立的所有序号是______．
①

a

⊕

b

=

b

⊕

a

；            
②(k

a

)⊕

b

=

a

⊕(k

b

)；
③

a

⊕(

b

⊕

c

)=(

a

⊕

b

)⊕

c

；   
④

a

⊕(

b

+

c

)=

a

⊕

b

+

a

⊕

c

．

答案

①

a

⊕

b

=（x₁+x₂，y₁y₂）=(x2+x1，y2y1)=

b

⊕

a

，故正确；
②∵(k

a

)⊕

b

=（kx₁+x₂，ky₁y₂），

a

⊕(k

b

)=（x₁+kx₂，y₁ky₂），
∴(k

a

)⊕

b

≠

a

⊕(k

b

)，故不正确；
③设

c

=(x3，y3)，
∵

a

⊕(

b

⊕

c

)=

a

⊕（x₂+x₃，y₂y₃）=（x₁+x₂+x₃，y₁y₂y₃），
（

a

⊕

b

）⊕

c

=（x₁+x₂，y₁y₂）⊕

c

=（x₁+x₂+x₃，y₁y₂y₃），
∴

a

⊕（

b

⊕

c

）=（

a

⊕

b

）⊕

c

，故正确；
④设

c

=(x3，y3)，
∵

a

⊕(

b

⊕

c

)=

a

⊕（x₂+x₃，y₂y₃）=（x₁+x₂+x₃，y₁y₂y₃），

a

⊕

b

+

a

⊕

c

=（x₁+x₂，y₁y₂）+（x₁+x₃，y₁y₃）=（2x₁+x₂+x₃，y₁（y₂+y₃）），
∴

a

⊕（

b

⊕

c

）≠

a

⊕

b

+

a

⊕

c

，故不正确．
综上可知：只有①③正确．
故答案为①③．