题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+

6

=0相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求

OA

•

OB

的取值范围；
（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．

答案

（1）由题意知，

c

a

=

1

2

，

6

2

=b即b=

3

又a²=b²+c²
∴a=2，b=

3

故椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1（2分）
（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-4）
由

y=k(x-4) x2 4 + y2 3 =1

可得：（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0（4分）
设A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），则△=32²k⁴-4（3+4k²）（64k²-12）＞0
∴0≤k2＜

1

4

（6分）
∴x₁+x₂=

32k2

3+4k2

，x₁x₂=

64k2-12

3+4k2

①
∴

.

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x1x2+k2(x1-4)(x2-4)
=(1+k2)x1x2-4k2(x1+x2)+16k2
=(1+k2)•

64k2-12

3+4k2

-4k2•

32k2

3+4k2

+16k2
=25-

87

4k2+3

∵0≤k2＜

1

4

∴-

87

3

≤-

87

4k2+3

＜-

87

4

∴-4≤25-

87

4k2+3

＜

13

4

∴

OA

•

OB

∈[-4，

13

4

）
（3）证明：∵B，E关于x轴对称
∴可设E（x₂，-y₂）
∴直线AE的方程为y-y1=

y1+y2

x1-x2

(x-x1)
令y=0可得x=x1-

y1(x1-x2)

y1+y2

∵y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4）
∴x=

2x1x2-4(x1+x2)

x1+x2-8

=

2× 64k2-12 3+4k2 -4× 32k2 3+4k2

32k2 3+4k2 -8

=1
∴直线AE与x轴交于定点（1，0）