题目

题型：不详难度：来源：

已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

x=2tcosθ y=2sinθ

（t为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ-

π

4

）=2

2

．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；
（Ⅱ）是否存在实数t，使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、B，且

OA

•

OB

=10（其中O为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由．

答案

（Ⅰ）∵t≠0，∴可将曲线C的方程化为普通方程：

x2

t2

+y²=4．…（2分）
①t=±1时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆；              …（4分）
②当t≠±1时，曲线C为中心在原点的椭圆．…（6分）
（Ⅱ）直线l的普通方程为：x-y+4=0．…（8分）
联立直线与曲线的方程，消y得

x2

t2

+（x+4）²=4，化简得（1+t²）x²+8t²x+12t²=0．
若直线l与曲线C有两个不同的公共点，则△=64t⁴-4（1+t²）•12t²＞0，解得t²＞3
又x₁+x2=-

8t2

1+t2

，x₁x₂=

12t2

1+t2

，…（                   …（10分）
故

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+4）（x₂+4）=2x₁x₂+4（x₁+x₂）+16=10．
解得t²=3与t²＞3相矛盾． 故不存在满足题意的实数t．…（12分）