题目

题型：不详难度：来源：

设向量

a

=(cos

3θ

2

，  sin

3θ

2

)，

b

=(cos

θ

2

，  -sin

θ

2

)，其中θ∈[0，  

π

3

]．
（1）求

a • b

| a + b |

的最大值和最小值；
（2）若|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，求实数k的取值范围．

答案

（1）

a

•

b

=(cos

3θ

2

，  sin

3θ

2

)•(cos

θ

2

，  -sin

θ

2

)=cos

3θ

2

cos

θ

2

-sin

3θ

2

sin

θ

2

=cos2θ．
|

a

+

b

|=

( a + b )2

=2cosθ
于是

a•b

|a+b|

=

cos2θ

2cosθ

=

2cos2θ-1

2cosθ

=cosθ-

1

2cosθ

．
因为θ∈[0，  

π

3

]，所以cosθ∈[

1

2

，  1]．
故当cosθ=

1

2

即θ=

π

3

时，

a•b

|a+b|

取得最小值-

1

2

；当cosθ=1即θ=0时，

a•b

|a+b|

取得最大值

1

2

．

（2）由|ka+b|=

3

|a-kb|得|ka+b|2=3|a-kb|2⇔k2+1+2kcos2θ=3(1+k2)-6kcos2θ⇔cos2θ=

k2+1

4k

．
因为θ∈[0，  

π

3

]，所以-

1

2

≤cos2θ≤1．
不等式-

1

2

≤

k2+1

4k

≤1⇔

(k-1)2 4k ≥0    k2-4k+1 4k ≤0

解得2-

3

≤k≤2+

3

或k=-1，
故实数k的取值范围是[2-

3

，  2+

3

]∪{-1}．