题目

题型：0103 期中题难度：来源：

已知椭圆长轴长与短轴长之差是2-2，且右焦点F到此椭圆一个短轴端点的距离为，点C（m，0）是线段OF上的一个动点（O为坐标原点）。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在过点F且与x轴不垂直的直线与椭圆交于A、B两点，使得，并说明理由。
【注：当直线BA的斜率存在且为k时，的方向向量可表示为（1，k）】

答案

解：（Ⅰ）由题意可知，
又，解得：a=，b=c=1，
∴椭圆的方程为。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（1，0），所以0≤m≤1，
假设存在满足题意的直线l，设l的方程为y=k（x-1），
代入，得，
设，则，   ①
∴，
∴，

而AB的方向向量为（1，k），
∴，
∴当时，，即存在这样的直线l；
当时，k不存在，即不存在这样的直线l。