题目
题型:模拟题难度:来源:
(2)设直线l1的斜率k>0,在x轴上是否存在点P(m,0),使得以PG,PH为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出m的取值范围;如果不存在,请说明理由;
(3)若实数λ满足,求λ的取值范围。
答案
所以F1为F2Q中点
设Q的坐标为(-3c,0),
因为AQ⊥AF2,
所以b2=3c×c=3c2,a2=4c×c=4c2,且过A,Q,F2三点的圆的圆心为F1(-c,0),半径为2c
因为该圆与直线l相切,
所以
解得c=1,
所以a=2,
故所求椭圆方程为。
(2)设l1的方程为y=kx+2(k>0)
由得(3+4k2)x2+16kx+4=0
设G(x1,y1),H(x2,y2),则
所以(x1-m,y1)+(x2-m,y2)
=(x1+x2-2m,y1+y2)
=(x1+x2-2m,k(x1+x2)+4)
(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1,k(x2-x1))
由于菱形对角线互相垂直,因此
所以(x2-x1)[(x1+x2)-2m]+k(x2-x1)[k(x1+x2)+4]=0
故(x2-x1)[(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k]=0
因为k>0,
所以x2-x1≠0
所以(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k=0,
即(1+k2)(x1+x2)+4k-2m=0
所以
解得
即
因为k>0,
所以
故存在满足题意的点P且m的取值范围是。
(3)①当直线l1斜率存在时,
设直线l1方程为y=kx+2,代入椭圆方程
得(3+4k2)x2+16kx+4=0
由△>0,得
设G(x1,y1),H(x2,y2),
则
又,
所以(x1,y1-2)=λ(x2,y2-2)
所以x1=λx2
所以
所以
所以
整理得
因为,
所以,即
所以
解得
又0<λ<1,
所以7-4<λ<1。
②当直线l1斜率不存在时,直线l1的方程为x=0,
此时,,,
所以
所以,
即所求λ的取值范围是。
核心考点
试题【如图,设椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q,且,若过 A,Q,F2三点的圆恰好与直】;主要考察你对平面向量数量积的运算等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)设c=4a+b,求(b·c)a;
(2)若a+λb与a垂直,求λ的值;
(3)求向量a在b方向上的投影.
(1)若m·n=1,求cos(-x)的值;
(2)记f(x)=m·n,在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数f(A)的取值范围.
(2)求点T的轨迹C的方程;
(3)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M, 使△F1MF2的面积S=b2。若存在,求∠F1MF2的正切值;若不存在,请说明理由。
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