（I）∵

a

∥

b

，
∴cos(

π

4

x)•2sin(

π

4

x)-f(x)=0．
∴f(x)=sin(

π

2

x)．
∴an+1=f(an)=sin(

π

2

an)．（1分）
下面用数学归纳法证明：0＜a_n＜a_n+1＜1．
①n=1时，a1=

1

2

，  a2=sin(

π

2

a1)=sin

π

4

=

2

2

.  ∴0＜a1＜a2＜1，
故结论成立．
②假设n=k时结论成立，即0＜ak＜ak+1＜1， ∴ 0＜

π

2

ak＜

π

2

ak+1＜

π

2

．
∴0＜sin(

π

2

ak)＜sin(

π

2

ak+1)＜1，
即0＜a_k+1＜a_k+2＜1．
也就是说n=k+1时，结论也成立．
由①②可知，对一切n∈N^*均有0＜a_n＜a_n+1＜1．（4分）
（Ⅱ）要证an+1-

π

4

an＞

4-π

4

，即证sin(

π

2

an)-

π

4

an-

4-π

4

＞0，其中

1

2

≤an＜1．
令g(x)=sin(

π

2

x)-

π

4

x-

4-π

4

.x∈[

1

2

，  1)．
由g′(x)=

π

2

cos(

π

2

x)-

π

4

=

π

2

[cos(

π

2

x)-

1

2

]=0，得x=

2

3

．（6分）

x	( 1 2 ，   2 3 )	2 3	( 2 3 ，  1)
g"（x）	+	0	-
g（x）	↗	极大值	↘
已知向量 a =(cosθ，sinθ)， b =( 3 ，1)，则| a - b |的最大值为（　　） A．1 B． 3 C．3 D．9
（理）若向量 a =（1，1，x）， b =（1，2，1）， c =（1，1，1），满足条件（ c - a ）•（2 b ）=-2，则x=（　　） A． 1 2 B．2 C．- 1 2 D．-2
已知a＞b＞0，F是方程 x2 b2 + y2 a2 =1的椭圆E的一个焦点，P、A，B是椭圆E上的点， PF 与x轴平行， PF = a 4 ，设 A（x1，y1），B（x2，y2）， m =( x1 b ， y1 a )， n =( x2 b ， y2 a )， m • n =0 （I ）求椭圆E的离心率 （II）如果椭圆E上的点与椭圆E的长轴的两个端点构成的三角形的面积的最大值等于2，直线y=kx-3经过A、B两点，求k2的值．
已知向量 a =（1，-1）， b =（2，x）．若 a • b =1，则x=（　　） A．-1 B．- 1 2 C． 1 2 D．1
已知向量 a =(1， 1-x x )，  b =(x-1，1)，则| a + b |的最小值是（　　） A．1 B． 2 C． 3 D．2