题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）设函数的图象上两点P₁(x₁，y₁)、P₂(x₂，y₂)，若，且点P的横坐标为．
(1)，求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；
(2)，求
(3)，记T_n为数列的前n项和，若对一切n∈N*都成立，试求a的取值范围。

答案

(1)见解析；(2)；(3).

解析

本试题主要考查了函数，与向量，以及数列的知识的综合运用。以函数为模型，确定点的坐标关系式，进一步结合向量得到结论，并利用倒序相加法求解和，同时利用裂项求和得到不等式的证明。
（1）由于点在函数图像上，同时满足，那么利用坐标化简得到结论。
（2）根据f (x₁)＋f (x₂)＝y₁＋y₂＝1，f (1)＝2－，结合倒序相加法求解得到结论。
（3）根据已知的和式得到，裂项求和的数学思想得到证明。
(1)证：∵，∴P是P₁P₂的的中点Þx₁＋x₂＝1------(2分)
　　∴

∴．-----------------------------(4分)
(2)解：由(1)知x₁＋x₂＝1，f (x₁)＋f (x₂)＝y₁＋y₂＝1，f (1)＝2－，　　，
相加得
　　　　 (n－1个1)∴．------------(8分)
(3)解：
　　   --------------------（10分）　　　Û　　　∵≥8，当且仅当n＝4时，取“＝”   ∴，因此，-------------------（12分）