题目

题型：不详难度：来源：

设动点M的坐标为（x，y）（x、y∈R），向量

a

=（x-2，y），

b

=（x+2，y），且|a|+|b|=8，
（I）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点N（0，2）作直线l与曲线C交于A、B两点，若

OP

=

OA

+

OB

（O为坐标原点），是否存在直线l，使得四边形OAPB为矩形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

答案

（I）因为|a|+|b|=8，所以

(x+2)2+y2

+

(x-2)2+y2

=8．
所以动点M的轨迹是到定点F₁（-2，0），F₂（2，0）的距离之和为8的椭圆．
则曲线C的方程是

x2

16

+

y2

12

=1．
（Ⅱ）因为直线l过点N（0，2），若直线l的斜率不存在，则l的方程为x=0，与椭圆的两个交点A、B为椭圆的顶点．
由

OP

=

OA

+

OB

，则P与O重合，与OAPB为四边形矛盾．
若直线l的斜率存在，设方程为y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

y=kx+2 x2 16 + y2 12 =1

得（4k²+3）x²+16kx-32=0．
△=256k²+128（4k²+3）＞0恒成立．
由根与系数关系得：x1+x2=-

16k

4k2+3

，x1x2=

-32

4k2+3

．
因为

OP

=

OA

+

OB

，所以四边形OAPB为平行四边形．
若存在直线l使四边形OAPB为矩形，则

OA

⊥

OB

，即

OA

•

OB

=0．
所以x₁x₂+y₁y₂=0．
所以（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0．
即(1+k2)(-

32

4k2+3

)-2k•

16k

4k2+3

+4=0．
化简得：12k²+5=0．与斜率存在矛盾．
则不存在直线l，使得四边形OAPB为矩形．