题目

题型：湖南省高考真题难度：来源：

对于数列{u_n}若存在常数M＞0，对任意的n∈N*，恒有|u_n+1-u_n|+|u_n-u_n-1|+…+|u₂-u₁|≤M，则称数列{u_n}为B-数列。
（1）首项为1，公比为q（|q|＜1）的等比数列是否为B-数列？请说明理由；
请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题，判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（2）设S_n是数列{x_n}的前n项和，给出下列两组论断；
A组：①数列{x_n}是B-数列②数列{x_n}不是B-数列
B组：③数列{S_n}是B-数列④数列{S_n}不是B-数列
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（3）若数列{a_n}，{b_n}都是B-数列，证明：数列{a_nb_n}也是B-数列。

答案

解：（1）设满足题设的等比数列为{a_n}，则，
于是，
因此，
因为|q|＜1，
所以，，
即，
故首项为1，公比为q（|q|＜1）的等比数列是B-数列。
（2）命题1：若数列{x_n}是B-数列，则数列{S_n}是B-数列，此命题为假命题。
事实上，设，
易知数列{x_n}是B-数列，但，
，
由n的任意性知，数列{S_n}是B-数列此命题为假命题。
命题2：若数列{S_n}是B-数列，则数列{x_n}是B-数列，此命题为真命题，
事实上，因为数列{S_n}是B-数列，
所以存在正数M，对任意的n∈N*，
有，
即，
于是
，
所以数列{x_n}是B-数列。
（3）若数列{a_n}{b_n}是B-数列，则存在正数，对任意的n∈N*，
有，
，
注意到
，
同理：，
记，则有

，
因此
，
故数列{a_nb_n}是B-数列。