题目

题型：上海期末题难度：来源：

已知首项为x₁的数列{x_n}满足（a为常数）．
（1）若对于任意的x₁≠﹣1，有x_n+2=x_n对于任意的n∈N*都成立，求a的值；
（2）当a=1时，若x₁＞1，数列{x_n}是递增数列还是递减数列？请说明理由；
（3）当a确定后，数列{x_n}由其首项x₁确定，当a=2时，通过对数列{x_n}的探究，写出“{x_n}是有穷数列”的一个真命题（不必证明）．

答案

解：（1）∵x_n+2====x_n
∴a²x_n=（a+1）x_n²+x_n，
当n=1时，由x₁的任意性得，
∴a=﹣1．
（2）数列{x_n}是递减数列．
∵x₁＞0.
∴x_n＞0，n∈N*
又x_n+1﹣x_n=﹣x_n=﹣＜0，n∈N*，
故数列{x_n}是递减数列．
（3）满足条件的真命题为：数列{x_n}满足x_n+1=，若x₁=﹣，则{xn}是有穷数列．