在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，给出下面关于f（x）的判断：①f（x）是周期函数 ②f（x）关于直线x=1对称； - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，给出下面关于f（x）的判断：
①f（x）是周期函数
②f（x）关于直线x=1对称；
③f（x）在[0，1]上是增函数；
④f（x）在[1，2]上是减函数；
⑤f（2）=f（0）．
其中正确判断的序号为（　　）

A．①②

B．①②⑤

C．①②③④

D．①②③④⑤

答案

由f（x+1）=-f（x），
得f（x+2）=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x），
即可得周期T=2，故①正确
由f（x）为偶函数可得f（-x）=f（x），
由f（x+1）=-f（x）可得f（1+x）=-f（-x），则f（x）图象关于（

，0）对称，
又f（x）图象关于y轴（x=0）对称，故x=1也是图象的一条对称轴，故②正确；
由f（x）为偶函数且在[-1，0]上单调递增，
得f（x）在[0，1]上是减函数，在[1，2]上是增函数，故③错，④错；
∵R上的偶函数f（x）的周期为2，∴f（2）=f（0）．故⑤正确．
故选B．

核心考点

试题【在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，给出下面关于f（x）的判断：①f（x）是周期函数 ②f（x）关于直线x=1对称；】；主要考察你对四种命题的概念等知识点的理解。[详细]

举一反三

存在区间M[a，b]（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列5个函数：
①f（x）=-x+1； ②f（x）=e^x；③f（x）=x³；④f（x）=cos

x；⑤f（x）=lnx+1．
其中存在“稳定区间”的函数有______．（把所有正确的序号都填上）

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关于函数f(x)=lg

1-x

1+x

，有下列三个命题：
①对于任意x∈（-1，1），都有f（-x）=-f（x）；
②f（x）在（-1，1）上是减函数；
③对于任意x₁，x₂∈（-1，1），都有f(x1)+f(x2)=f(

x1+x2

1+x1x2

)；
其中正确命题的个数是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

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下列四个命题：
①若0＞a＞b，则

＜

；
②x＞0，x+

x-1

的最小值为3；
③椭圆

=1比椭圆

=1更接近于圆；
④设A，B为平面内两个定点，若有|PA|+|PB|=2，则动点P的轨迹是椭圆；
其中真命题的序号为．（写出所有真命题的序号）

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关于下列命题，正确的序号是______．
①函数y=tanx最小正周期是π；
②函数y=cos2（

-x）是偶函数；
③函数y=4sin（2x-

）的一个对称中心是（

，0）；
④函数y=sin（x+

）在闭区间[-

，

]上是增函数．

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已知二次函数f（x）=x²-mx+m（x∈R）同时满足：（1）不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；（2）在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n），bn=1-

8-m

，我们把所有满足b_i•b_i+1＜0的正整数i的个数叫做数列{b_n}的异号数．根据以上信息，给出下列五个命题：
①m=0；
②m=4；
③数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-5；
④数列{b_n}的异号数为2；
⑤数列{b_n}的异号数为3．
其中正确命题的序号为______．（写出所有正确命题的序号）

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