题目

题型：不详难度：来源：

已知定义域为R的函数y=f（x），则下列命题：
①若f（x-1）=f（1-x）恒成立，则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称；
②若f（x+1）+f（1-x）=0恒成立，则函数y=f（x）的图象关于（1，0）对称；
③函数y=f（x-1）的图象与函数y=f（1-x）的图象关于y轴对称；
④若f（1+x）+f（x-1）=0恒成立．则函数y=f（x）以4为周期．其中真命题有______．

答案

①若f（x-1）=f（1-x）恒成立，令t=x-1，则x=t+1，代入得f（t）=f（-t），此函数y=f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称，故函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称不正确；
②若f（x+1）+f（1-x）=0恒成立，由于x+1+1-x=2，而函数值互为相反数，故函数y=f（x）的图象关于点（1，0）对称，此命题正确；
③由于函数y=f（x）的图象与函数y=f（-x）的图象关于直线Y轴对称，而两函数y=f（x-1）的图象与函数y=f（1-x）的图象可分别由函数y=f（x）的图象与函数y=f（-x）的图象右移一个单位得到，故两函数的图象关于直线x=1对称，由此知两者图象关于y轴对称不正确；
④f（1+x）+f（x-1）=0恒成立，即f（x+1）=-f（x-1）=f（x-3），故函数的周期为T=4．则函数y=f（x）以4为周期正确．
综上知②④是正确命题
故答案为2