题目

题型：不详难度：来源：

设f（x）为定义在区间I上的函数．若对I上任意两点x₁，x₂（x₁≠x₂）和实数λ∈（0，1），总有f（λx₁+（1-λ）x₂）＜λf（x₁）+（1-λ）f（x₂），则称f（x）为I上的严格下凸函数．若f（x）为I上的严格下凸函数，其充要条件为：对任意x∈I有f^∥（x）＞0成立（f^∥（x）是函数f（x）导函数的导函数），则以下结论正确的有______．
①f（x）=

2x+2014

3x+7

，x∈[0，2014]是严格下凸函数．
②设x₁，x₂∈（0，

π

2

）且x₁≠x₂，则有tan(

x1+x2

2

)＞

1

2

(tanx1+tanx2)
③若f（x）是区间I上的严格下凸函数，对任意x₀∈I，则都有f（x）＞f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀）
④f（x）=

1

6

x3+sinx，（x∈（

π

6

，

π

3

））是严格下凸函数．

答案

①因为f（x）=

2x+2014

3x+7

=

2 3 (3x+7)+2014- 14 3

3x+7

=

2

3

+

6028

9x+21

，所以f"（x）=-

6028×9

(9x+21)2

=-

6028

(3x+7)2

，
所以f^∥（x）=

2×3×6028

(3x+7)3

，当x∈[0，2014]时，f^∥（x）＞0恒成立，所以①正确．
②若x1=

π

3

，x2=

π

6

，则

1

2

(tanx1+tanx2)=

1

2

(tan

π

3

+tan

π

6

)=

1

2

(

3

3

+

3

)=

2 3

3

，而

1

2

(tan⁡

x1+x2

2

=tan⁡

π 3 + π 6

2

)=tan⁡

π

4

=1，
所以有tan(

x1+x2

2

)＞

1

2

(tanx1+tanx2)不成立，所以②错误．
③因为f（x）=x²为严格下凸函数，则f"（x）=2x，f^∥（x）=2＞0恒成立，当x₀=1时，f′（1）=2，f（1）=1，
此时不等式等价为，f（x）＞2（x-1）+1=2x-1，当x=0时，f（0）=0＞-1不成立，所以③错误．
④若f（x）=

1

6

x3+sinx，则f"（x）=

1

2

x2+cosx，f^∥（x）=x-sinx，当x∈[

π

6

，

π

3

]，设y=x-sinx，则y"=1-cosx≥0，所以函数f^∥（x）=x-sinx单调递增，
所以f^∥（

π

6

）=

π

6

-sin

π

6

=

π

6

-

1

2

＞0），所以f（x）=

1

6

x3+sinx，（x∈（

π

6

，

π

3

））是严格下凸函数，所以④正确．
故答案为：①④．