题目

题型：不详难度：来源：

给出下列命题：
（1）已知可导函数f（x），x∈D，则函数f（x）在点x₀处取得极值的充分不必要条件是f′（x₀）=0，x₀∈D．
（2）已知命题P：∀x∈R，sinx≤1，则￢p：∃x∈R，sinx＞1．
（3）已知命题p：

1

x2-3x+2

＞0，则￢p：

1

x2-3x+2

≤0．
（4）给定两个命题P：对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x²-x+a=0有实数根．如果P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，则实数a的取值范围是(-∞，0)∪(

1

4

，4)．
其中所有真命题的编号是______．

答案

函数f（x）在点x₀处取得极值则f′（x₀）=0，
但f′（x₀）=0时，函数f（x）在点x₀处取得极值不恒成立，
故函数f（x）在点x₀处取得极值的必要不充分条件是f′（x₀）=0，x₀∈D．故（1）为假命题；
命题P：∀x∈R，sinx≤1，则￢p：∃x∈R，sinx＞1，故（2）为真命题；
命题p：

1

x2-3x+2

＞0，则￢p：

1

x2-3x+2

≤0或

1

x2-3x+2

无意义，故（3）为假命题；
若命题P：“对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立”为真，则0≤a＜4；
若命题Q：关于x的方程x²-x+a=0有实数根，则△=1-4a≥0，即a≤

1

4

．
如果P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，则P和Q一真一假
若P真Q假，则

1

4

＜a＜4，若P假Q真，则a＜0
则实数a的取值范围是(-∞，0)∪(

1

4

，4)．
故所有真命题的编号为：（2），（4）．
故答案为：（2），（4）