设为随机变量，从棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，=0，当四点不共面时，的值为四点组成的四面体的体积．（1）求概率 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

设

为随机变量，从棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，

=0，当四点不共面时，

的值为四点组成的四面体的体积．
（1）求概率P（

=0）；
（2）求

的分布列，并求其数学期望E (

)．

答案

（1）

（2）

解析

试题分析：（1）求概率P（

= 0），就是求四点共面时概率.古典概型概率

的求法，关键要找出

所包含的基本事件个数，然后套用公式

（2）求

的数学期望的基本步骤：首先理解

的意义，写出

可能取的全部值，本题考虑四个顶点不同位置，求体积；其次求

取各个值的概率，写出概率分布；最后根据概率分布，由数学期望的定义求出

试题解析：（1）从正方体的八个顶点中任取四个点,共有

种不同取法.
其中共面的情况共有12种(6个侧面,6个对角面).
则

3分
（2）任取四个点,当四点不共面时,四面体的体积只有以下两种情况:
①四点在相对面且异面的对角线上,体积为

这样的取法共有2种. 5分
②四点中有三个点在一个侧面上,另一个点在相对侧面上,体积为

这样的取法共有

种 7分

的分布列为

8分
数学期望

10分

核心考点

试题【设为随机变量，从棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，=0，当四点不共面时，的值为四点组成的四面体的体积．（1）求概率】；主要考察你对离散型随机变量均值与方差等知识点的理解。[详细]

举一反三

多选题是标准化考试的一种题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确的答案.在一次考试中有5道多选题，某同学一道都不会，他随机的猜测，则他答对题数的期望值为．

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某市准备从7名报名者（其中男4人，女3人）中选3人到三个局任副局长.
（1）设所选3人中女副局长人数为X，求X的分布列和数学期望；
（2）若选派三个副局长依次到A、B、C三个局上任，求A局是男副局长的情况下，B局为女副局长的概率.

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某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为

，科目B每次考试成绩合格的概率均为

.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.
（1）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（2）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为

，求

的分布列及数学期望E

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市民李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就读的小学在丙地，三地之间的道路情况如图所示．假设工作日不走其它道路，只在图示的道路中往返，每次在路口选择道路是随机的．同一条道路去程与回程是否堵车相互独立．假设李先生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班．假设道路A，B，D上下班时间往返出现拥堵的概率都是

，道路C，E上下班时间往返出现拥堵的概率都是

，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到．

(1)求李先生的小孩按时到校的概率；
(2)李先生是否有七成把握能够按时上班？
(3)设X表示李先生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数，求X的均值．

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为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为

.
(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；
(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X，试写出X的分布列，并求X的数学期望．

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