题目

题型：不详难度：来源：

已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为

1

3

，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一料种子，每次实验结果相互独立．假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值；
（1）求随机变量ξ的数学期望
（2）记“关于x的不等式 ξx²-ξx+1＞0的解集是实数集R”为事件A，求事件A发生的概率P（A）．

答案

（1）由题意知ξ的可能取值为0，2，4，（2分）
∵“ξ=0”指的是实验成功2次，失败2次．（2分）
∴p（ξ=0）=

C

24

(

1

3

)3(1-

1

3

)2 =

24

81

．
“ξ=2”指的是实验成功3次，失败1次或实验成功1次，失败3次．
∴P（ξ=2）=

c

34

(

1

3

)3(1-

1

3

)+

c

14

(

1

3

) (1-

1

3

)3=

40

81

．
“ξ=4”指的是实验成功4次，失败0次或实验成功0次，失败4次．
∴p（ξ=4）=

C

44

(

1

3

)  4+

C

04

(1-

1

3

)4=

17

81

，（6分）
∴Eξ=0×

24

81

+2×

40

81

+4×

17

81

=

148

81

．
故随机变量ξ的数学期望为

148

81

．（7分）
（2）由题意知：“不等式ξx²-ξx+1＞0的解集是实数R”为事件A．
当ξ=0时，不等式化为1＞0，其解集是R，说明事件A发生；
当ξ=2时，不等式化为2x²-2x+1＞0，
∵△=-4＜0，所以解集是R，说明事件A发生；
当ξ=4时，不等式化为4x²-4x+1＞0，其解集{x|x≠

1

2

}，
说明事件A不发生．（10分）
∴p（A）=p（ξ=0）+p（ξ=2）=

24

81

+

40

81

=

64

81

．（12分）