题目

题型：0103 期末题难度：来源：

已知关于x的二次函数f(x)=ax²-4bx+1。
（Ⅰ）已知集合P={-1，1，2，3，4，5}，Q={-2，-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f(x)在区间[1，+∞)上是增函数的概率；
（Ⅱ）在区域内随机任取一点(a，b)，求函数y=f(x)在区间[1，+∞)上是增函数的概率。

答案

解：（Ⅰ）∵a∈P，∴a≠0，
∴函数f(x)=ax²-4bx+1的图象的对称轴为，
要使f(x)=ax²-4bx+1在区间[1，+∞)上为增函数，
当且仅当a＞0且≤1，即2b≤a，
若a=1，则b=-2，-1；
若a=2，则b=-2，-1，1；
若a=3，则b=-2，-1，1；
若a=4，则b=-2，-1，1，2；
若a=5，则b=-2，-1，1，2，
所求事件包含基本事件的个数是2+3+3+4+4=16，
∴所求事件的概率为。
（Ⅱ）由条件知a＞0，
∴由（Ⅰ）可知当且仅当2b≤a且a＞0时，函数f(x)=ax²-4bx+1在区间[1，+∞)上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域，为△OAB，
所求事件构成区域为如图阴影部分，

由，得交点，
∴所求事件的概率为。