题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)如果按甲最先,乙次之,丙最后的顺序派人,求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序,任务能被完成的概率是否发生变化?
(Ⅱ)若按某指定顺序派人,这三个人各自能完成任务的概率依次为,其中是的一个排列,求所需派出人员数目的分布列和均值(数字期望);
(Ⅲ)假定,试分析以怎样的先后顺序派出人员,可使所需派出的人员数目的均值(数字期望)达到最小.
答案
(Ⅱ);
(Ⅲ)以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人
解析
(I)无论以怎样的顺序派出人员,任务不能被完成的概率都是可以解得,所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关,则可得。
(II)当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为求解出时,随机变量X的分布列可以得到,并且所需派出的人员数目的均值(数学期望)EX也可以求解。
(III)由(II)的结论知,当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时,
根据常理,优先派出完成任务概率大的人,可减少所需派出的人员数目的均值.
解:(I)无论以怎样的顺序派出人员,任务不能被完成的概率都是,所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关,并等于
(II)当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为时,随机变量X的分布列为
X | 1 | 2 | 3 |
P |
(III)(方法一)由(II)的结论知,当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时,
根据常理,优先派出完成任务概率大的人,可减少所需派出的人员数目的均值.
下面证明:对于的任意排列,都有
……………………(*)
事实上,
即(*)成立.
(方法二)(i)可将(II)中所求的EX改写为若交换前两人的派出顺序,则变为.由此可见,当时,交换前两人的派出顺序可减小均值.
(ii)也可将(II)中所求的EX改写为,或交换后两人的派出顺序,则变为.由此可见,若保持第一个派出的人选不变,当时,交换后两人的派出顺序也可减小均值.
序综合(i)(ii)可知,当时,EX达到最小. 即完成任务概率大的人优先派出,可减小所需派出人员数目的均值,这一结论是合乎常理的
核心考点
试题【工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务,每次只派一个人进去,且每个人只派一次,工作时间不超过10分钟,如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出,再派下】;主要考察你对古典概型的概念及概率等知识点的理解。[详细]
举一反三
甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,
答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为,,,且各人回答正确与否相互之间没有影响.用表示甲队的总得分.
(1)求的概率及的数学期望;
(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求.
(1)两人都未解决的概率;
(2)问题得到解决的概率.
(Ⅰ)从中摸出两个球,求两球恰好颜色不同的概率;
(Ⅱ)从中摸出一个球,放回后再摸出一个球,求两球恰好颜色不同的概率。
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