题目

题型：广东三模难度：来源：

已知关于x的一元二次函数f（x）=ax²-4bx+1．
（1）设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）设点（a，b）是区域

x+y-8≤0 x＞0 y＞0

内的随机点，求y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

答案

（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
∵试验发生包含的事件是3×5=15，
函数f（x）=ax²-4bx+1的图象的对称轴为x=

2b

a

，
要使f（x）=ax²-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，
当且仅当a＞0且

2b

a

≤1，即2b≤a
若a=1则b=-1，若a=2则b=-1，1；若a=3则b=-1，1；
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5
∴所求事件的概率为

5

15

=

1

3

．

（2）由（Ⅰ）知当且仅当2b≤a且a＞0时，
函数f（x）=ax²-4bx+1在区是间[1，+∞）上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|

a+b-8≤0 a＞0 b＞0

}
构成所求事件的区域为三角形部分
由

a+b-8=0 b= a 2

得交点坐标为(

16

3

，

8

3

)，
∴所求事件的概率为P=

1 2 ×8× 8 3

1 2 ×8×8

=

1

3

．