题目
题型:不详难度:来源:
已知P是圆F1:(x+1)2+y2=16上任意一点,点F2的坐标为(1,0),直线m分别与线段F1P、F2P交于M、N两点,且
MN |
1 |
2 |
MF2 |
MP |
NM |
F2P |
NM |
F2P |
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)斜率为k的直线l与曲线C交于P、Q两点,若
OP |
OQ |
(3)是否存在斜率为
1 |
2 |
OP |
OQ |
答案
MN |
1 |
2 |
MF2 |
MP |
∵|
NM |
F2P |
NM |
F2P |
∴(
NM |
F2P |
NM |
F2P |
NM |
F2P |
∴NM⊥PF2,可得MN是线段PF2的垂直平分线
∴
|MF2| |
|MP |
|MF1| |
|MF2| |
|PF1| |
因此,点M的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆,长轴2a=4,焦距2c=1,可得b2=a2-c2=3
椭圆方程为
x2 |
4 |
y2 |
3 |
(2)设直线l的方程为y=kx+n,与椭圆
x2 |
4 |
y2 |
3 |
可得根的判别式△=64k2n2-16(3+4k2)(4n2-12)>0,化简得4k2-n2+3>0…①
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-
8kn |
3+4k2 |
4n2-12 |
3+4k2 |
∵
OP |
OQ |
∴x1x2+y1y2=0,即x1x2+(k1x+n)(k2x+n)=0,(1+k2)x1x2+kn(x1+x2)+n2=0
∴-
8kn |
3+4k2 |
4n2-12 |
3+4k2 |
①②联解,得n2≥
4 |
3 |
2 |
7 |
21 |
2 |
7 |
21 |
故直线l在y轴上截距的取值范围是(-∞,-
2 |
7 |
21 |
2 |
7 |
21 |
(2)设直线l的方程为y=
1 |
2 |
x2 |
4 |
y2 |
3 |
可得根的判别式△=n2-4(n2-3)>0,化简得n2<4…①
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-n,x1x2=n2-3
∵
OP |
OQ |
∴x1x2+y1y2=0,即x1x2+(
1 |
2 |
1 |
2 |
5 |
4 |
1 |
2 |
∴
5 |
4 |
1 |
2 |
15 |
7 |
对照①②可得,n=±
| ||
7 |
所以存在直线l的方程:y=
1 |
2 |
| ||
7 |
1 |
2 |
| ||
7 |
OP |
OQ |
核心考点
试题【请考生注意:重点高中学生只做(1)、(2)两问,一般高中学生只做(1)、(3)两问.已知P是圆F1:(x+1)2+y2=16上任意一点,点F2的坐标为(1,0)】;主要考察你对求轨迹方程等知识点的理解。[详细]
举一反三