已知一动圆P与定圆（x-1）2+y2=1和y轴都相切，（1）求动圆圆心P的轨迹M的方程；（2）过定点A（1，2），作△ABC，使∠BAC=90°，且动点B，C在 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知一动圆P与定圆（x-1）²+y²=1和y轴都相切，
（1）求动圆圆心P的轨迹M的方程；
（2）过定点A（1，2），作△ABC，使∠BAC=90°，且动点B，C在P的轨迹M上移动（B，C不在坐标轴上），问直线BC是否过某定点？证明你的结论．

答案

（1）设动点P的坐标为（x，y），由题设知：

(x-1)2+y2

-1=|x|3′
化简得：x＞0时，y²=4x．
x＜0时，y=0
所以 P点的轨迹方程为y²=4x（x＞0）和y=0（x＜0）6′
（2）设B、C的坐标为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），又A（1，2）
∵∠BAC=90°，∴

•

=(x1-1，y1-2)•(x2-1，y2-2)=0
即（x₁-1）（x₂-1）+（y₁-2）（y₂-2）=0①
而BC的直线方程为（x₂-x₁）（y-y₁）=（y₂-y₁）（x-x₁）②8′
∵B、C在抛物线y²=4x上，
∴x₁=

y12

，x2=

y22

代入①式化简得-2（y₁+y₂）-y₁y₂=20③10′
把x₁=

y12

，x2=

y22

代入②式化简得BC的方程为（y₁+y₂）y-y₁y₂=4x④12′
对比③④可知，直线BC过点（5，-2），
∴直线BC恒过一定点（5，-2）14′

核心考点

试题【已知一动圆P与定圆（x-1）2+y2=1和y轴都相切，（1）求动圆圆心P的轨迹M的方程；（2）过定点A（1，2），作△ABC，使∠BAC=90°，且动点B，C在】；主要考察你对求轨迹方程等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知定点A（1，1）和直线l：x+y-2=0，则到定点A的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹为（　　）

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A．椭圆

B．双曲线

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D．直线

已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件|PM|-|PN|=2

．记动点P的轨迹为W．
（1）求W的方程；
（2）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求

•

的最小值．

已知三点A（-1，0），B（1，0），C(-1，

)，曲线E过C点，且动点P在曲线E上运动，并保持|PA|+|PB|的值不变．
（I）求曲线E的方程；
（II）若C、M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是曲线E上的不同三点，直线CM、CN的倾斜角互补．问直线MN的斜率是否是定值？如果是，求出该定值，如果不是，说明理由．

圆（x-2）²+（y+1）²=9的弦长为2，则弦的中点的轨迹方程是______．

已知A（2，-1），B（-1，1），O为坐标原点，动点P满足

，其中m、n∈R，且2m²-n²=2，则动点P的轨迹是（　　）

A．焦距为

的椭圆

B．焦距为2

的椭圆

C．焦距为

的双曲线

D．焦距为2

的双曲线