题目

题型：门头沟区一模难度：来源：

已知定点A（0，0），动点B满足|

AB

|=5，线段AB与圆：x²+y²=9交于点P，过点B作直线l垂直于x轴，过点P作PQ⊥l，垂足为Q．
（Ⅰ）求动点B的轨迹方程；
（Ⅱ）求点Q的轨迹方程；
（III）过点A作直线m，与点Q的轨迹交于M、N两点，C为点Q的轨迹上不同于M、N的任意一点，问k_CM•k_CN是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．

答案

（1）根据题意动点B的轨迹方程是x²+y²=25（2分）
（2）设Q（x，y），B（5cosθ，5sinθ），P（3cosθ，3sinθ），（4分）
根据题意有

x=5cosθ y=3sinθ

（6分）
点Q的轨迹方程为

x2

25

+

y2

9

=1（8分）
（3）设C（x，y），由椭圆

x2

25

+

y2

9

=1是中心对称图形，M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀）kCM=

y-y0

x-x0

，kCN=

y+y0

x+x0

，（10分）kCM•kCN=

y2- y 20

x2- x 20

（11分）
又点M、C都在椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上，
所以

x2 25 + y2 9 =1 x 20 25 + y 20 9 =1

⇒

x2- x 20

25

+

y2- y 20

9

=0

y2- y 20

x2- x 20

=-

25

9

即kCM•kCN=-

25

9

是一个定值．（14分）